第2章-5离散型随机变量的均值与方差课件-选修2-3.ppt

成才之路 · 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,北师大版 · 选修2-3,概 率,第二章,§5 离散型随机变量的均值与方差,第二章,1.理解离散型随机变量的均值的含义． 2．理解离散型随机变量的方差的含义． 3．利用离散型随机变量的均值和方差解决实际问题． 本节重点：离散型随机变量的均值与方差． 本节难点：准确确定随机变量的分布列，求均值与方差.,x1p1＋x2p2＋…＋xnpn,平均水平,E(X－EX)2,标准差,偏离于均值的平均程度,相同的单位,aE(X)＋b,np,a2D(X),np(1－p),1.随机变量均值的注意点 (1)均值(期望)是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． (2)随机变量的均值与样本的平均值既有联系又有区别．随机变量的均值是一个常数，而样本的平均值是一个随机变量，它是变化的，它依赖于所抽取的样本，但随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体均值． (3)随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．,2．随机变量函数的均值 如果Y＝aX＋b(其中a、b是常数，X是随机变量)，那么Y也是随机变量．既然Y是X的线性函数，我们不由地会引发思考：Y的均值与X的均值有没有联系呢？如果有，有什么联系？ 现在，我们来探讨这个问题． ∵P(Y＝aX＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n. ∴Y与X的概率分布列为：,于是E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axn＋b)pn ＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pn) ＝aE(X)＋b. 即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 因此，我们得到随机变量函数的均值的一个应用很广泛的性质： 随机变量X的线性函数的均值等于这个随机变量均值EX的同一线性函数．即当a、b为常数时，随机变量函数Y＝aX＋b的均值E(aX＋b)＝aE(X)＋b.特别地；,①当a＝0时，E(b)＝b，即常数的均值就是这个常数本身； ②当a＝1时，E(X＋b)＝E(X)＋b，即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和； ③当b＝0时，E(aX)＝aE(X)，即常数与随机变量X乘积的均值等于这个常数与X的均值的乘积． 3．方差是随机变量另一个重要的数字特征，它表现了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散的程度，二者间的关系十分密切．,4．随机变量函数的方差 对于随机变量函数Y＝aX＋b(a，b是常数)而言，E(Y)＝aE(X)＋b，那么Y的方差又如何呢？我们来作进一步的探究： D(aX＋b) ＝(ax1＋b－aE(X)－b)2p1＋(ax2＋b－aE(X)－b)2p2＋…＋(axn＋b－aE(X)－b)2pn ＝a2[(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn] ＝a2D(X)．,由此，我们得到随机变量函数的方差的一个重要性质： 当a、b为常数时，随机变量函数Y＝aX＋b的方差D(aX＋b)＝a2D(X)．特别地： ①当a＝0时，D(b)＝0，即常数的方差等于0； ②当a＝1时，D(X＋b)＝D(X)，即随机变量X与常数之和的方差等于这个随机变量X的方差的本身； ③当b＝0时，D(aX)＝a2D(X)，即常数与随机变量X乘积的方差等于这个常数的平方与这个随机变量X的方差的乘积．,5．求离散型随机变量的均值和方差主要有三种方法．方法一：用定义直接求出；方法二：利用常见离散型随机变量的数字特征公式求之．常见类型有(1)单点分布：E(X)＝c(c为常数)，D(X)＝0.(2)两点分布：E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(3)二项公式：E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．方法三：随机变量分解法．将随机变量X分解成若干个随机变量Xi之和，把求E(X)转化为求E(Xi)．E(X)＝E(X1＋X2＋…＋Xn)＝E(X1)＋E(X2)＋…＋E(Xn)，若E(Xi)易于求出，则E(X)的计算就非常简便，这种处理方法称为随机变量分解法.,[答案] D [解析] 设？处为x，！处为y，则由分布列的性质得2x＋y＝1，∴均值E(ξ)＝1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝4x＋2y＝2.,求离散型随机变量的均值,(1)写出ξ的分布列； (2)求均值E(ξ)．,超几何分布的均值和方差,设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数． (1)求X的分布列、均值及方差； (2)求Y的分布列、均值及方差． [分析] 本题考查离散型随机变量的均值与方差．X的取值应是0,1,2，第(2)问求Y分布列及均值，可充分利用X与Y的关系Y＋X＝3来解．同时注意本题的抽取是“不放回抽取”．,某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则均值E(ξ)＝________(结果用最简分数表示) [分析] 可以将“从7名学生中选出2名志愿者”看作“从7件产品中抽取2件产品”，将“选出的志愿者中女生的人数”看作“任取2件产品中的次品数”，则随机变量ξ服从超几何分布．,二项分布的均值与方差,(2014·辽宁理，18)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．,,均值与方差的应用,(2014·福建理，18)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额． (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；,(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．,