2-排列-课件(选修2-3).ppt
第一章 计数原理 §1.2 排列,复习,两个基本原理,分类加法计数原理——类类独立,不重不漏,分步乘法计数原理——步步相依,步骤完整,联系,,区别一,完成一件事情共有n类 办法,关键词是“分类”,完成一件事情,共分n个 步骤,关键词是“分步”,区别二,每类办法都能独立完成 这件事情。,每一步得到的只是中间结果, 任何一步都不能能独立完成 这件事情,缺少任何一步也 不能完成这件事情,只有每 个步骤完成了,才能完成这 件事情。,分类计数原理和分步计数原理,回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。,区别三,各类办法是互斥的、 并列的、独立的,各步之间是相关联的,分类计数与分步计数原理的区别和联系:,问:用1,2,8,9可组成多少个无重复数字的六位数?,步骤繁多,如何简化?——排列问题公式化,3名同学排成一排照相,有多少种排法?,方法1 (枚举法) 把三名同学用A、B、C作为代号,于是有以下 6种排法:ABC ACB BCA BAC CAB CBA,方法2 (分步计数) A,B,C三人排成一行,可以看作讲字母A,B,C 顺次排入相邻的三个方格中. 首先排第一个位置:从A,B,C中任选一人,有3种方法. 其次排第二个位置:从剩下的2人中任选1人,有2种方法. 最后排第三个位置:只有1种方法. 根据乘法原理,3名同学排成一排照相, 共有3×2×1=6种排法.,问题提出,问题1,问题2,北京、广州、南京、天津4个城市相互通航,应该有多少种机票?,,,方法一:枚举法,方法二:分步计数,从起点到终点按顺序排列,第一步:确定起点,有 4种方法,第二步:确定终点,有 3种方法,由乘法原理知, 共有4χ3种机票.,问题3,从4面不同颜色的旗子中,选出3面排成一排作为一种信号,能组成多少种信号?,分三步完成,第1步,先选第1面旗子,有4种选择方法. 第2步,在剩下的3种颜色中,再选第2面旗子,有3种选法. 第3步,在剩下的2种颜色中,再选最后一面旗子,有2种选法.,4×3×2=24种方法,从4个不同的元素a,b,c,d中任取3个,然后按照一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法?,abc,abd,acb,acd,adb,adc, bac,bad,bca,bcd,bda,bdc, cab,cad,cba,cbd,cda,cdb, dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.,共有 4×3×2=24 种,问题转化,一般地,从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).,注意4、当两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序相同称两个排列相同,基本概念,注意1、“按一定顺序”就是与位置有关,这是判断一个问题是否是排列问题的关键。,注意2、m<n时的排列叫选排列,m=n时的排列叫 全排列。,注意3、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏,可以采用“树形图”。,1、排列:,,例1、下列问题中哪些是排列问题?,(1)10名学生中抽2名学生开会,(2)10名学生中选2名做正、副组长,(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘,(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除,(5)20位同学互通一次电话,(6)20位同学互通一封信,(7)以圆上的10个点为端点作弦,(8)以圆上的10个点中的某一点为起点,作过另一个点的射线,(9)有10个车站,共需要多少种车票?,(10)安排5个学生为班里的5个班干部,每人一个职位?,,,,,,,哪些是全排列?,,2、排列数:,从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号 表示。,“排列”和“排列数”有什么区别和联系?,问题3中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数,记为 ,已经算出,探究:从n个不同元素中取出2个元素的排列数 是多少?,呢?,呢?,问题2中是求从4个不同元素中取出2个元素的排列数,记为 ,已经算出,排列数公式(1):,当m=n时,,正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用 表示。,n个不同元素的全排列公式:,排列数公式(2):,为了使当m=n时上面的公式也成立,规定:,练习1:利用(计算器)计算:,几个常见阶乘数值:,求证:,例2,例3 某年全国足球甲级(A组)联赛共有14队参加,每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次,共进行多少场比赛?,①有5本不同的书,从中选出3本给3名同学,每人一本,共有多少种不同的选法?,②有5种不同的书,从中选出3本给3名同学,每人一本,共有多少种不同的选法?,排列数,分步乘法计数原理,例4 某信号兵用红,绿,蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可挂一面,二面,三面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可表示多少种不同的信号?,信号分三类, 第一类为3面旗组成的信号,共A33种, 第二类为2面旗组成的信号,共A32种, 第三类为1面旗组成的信号,共A31种, 由加法原理得,解,N=6+6+3=15,练习2 用0~9这十个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?,注:0不能排在百位上,分析:每一个三位数都可看成是这十个数字中任取三个数字的一个排列,解法一:百位用非零元元素先占,由乘法原理得 A91A92=9×9×8=648(个) 解法二:把特殊元素“0”先放在满足要求的位置上:①三个数字都不为0②个位数字是0③十位数字是0;由加法原理 A93+A92+A92=9×8×7+9×8+9×8=648(个),用0~9这十个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?,解法三:先计算出10个数字任取3个数字的排列数,然后再去掉不符合要求的排列数,有 A103-A92=10×9×8-9×8=648(个),1.直接计算法:即把符合限制条件的排列数直接计算出来,此种算法又可分为先考虑特殊元素还是先考虑特殊位置两种方法。 2.间接计算法:即先不考虑限制条件,把所有排列种数算出。再从中减去全部不符合条件的排列种数,间接得出符合条件的排列种数。,归纳,小结,1.排列,全排列,阶乘的意义,排列数的阶乘形式. 2.解决排列问题的一般思路: (1)把问题分步来完成,用分步计数原理求解; (2)转化为求排列数问题来解决.,例3、计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,那么不同的陈列方式有多少种?,例4、(1)将18个人排成一排,不同的排法有多少种?,(2)将18个人排成两排,每排9人,不同的排法有多少种?,(3)将18个人排成三排,每排6人,不同的排法有多少种?,例5、5人站成一排,(1)其中甲、乙两人必须相邻,有多少种不同的排法?,(2)其中甲、乙两人不能相邻,有多少种不同的排法?,例6、5名学生和1名老师照相,老师不能站排头,也不能站排尾,共有多少种不同的站法?,(3)其中甲不站排头、乙不站排尾,有多少种不同的排法?,练3 、7个人站成一排,其中甲、乙、丙三人顺序一定,共有多少种不同的排法?,练1、4名学生和3名老师排成一排照相,老师不能排两端,且老师必须要排在一起的不同排法有多少种?,练4 、在7名运动员中选出4名组成接力队参加4×100米比赛,那么甲、乙都不跑中间两棒的安排方法有多少种?,练2 、停车场有7个停车位,现在有4辆车要停放,若要使3个空位连在一起,则停放的方法有多少种?,