第三章《圆锥曲线与方程》曲线与方程.ppt

1,曲线与方程,北师大版高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》,,2,,复习回顾:,我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线l的方程为____________ 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是______________ 3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为_______________________.,x-y=0,Ⅰ、曲线与方程,3,点的横坐标与纵坐标相等,x=y（或x- y=0）,第一、三象限角平分线,含有关系：,（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在 上,曲线,条件,方程,坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0,思考?,4,圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:,思考?,5,(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.,定义:,1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.,一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:,说明:,6,2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” ,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.,（纯粹性）.,3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.,（完备性）.,由曲线的方程的定义可知:,如果曲线C的方程是 f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)在曲线C 上的 充要条件 是,f(x0, y0)=0,7,例1 :判断下列命题是否正确,解:(1)不正确，不具备(2)完备性，应为x=3, (2)不正确,不具备(1)纯粹性，应为y=±1. (3)正确. (4)不正确,不具备(2)完备性,应为x=0(-3≤y≤0).,(1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程x=0,8,例2.证明圆心为M（3，4）半径等于5的方程 并判断点O（0,0），A(-1,0)，B,1,2)是否在这个圆上。,9,第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；,归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤,第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明点 M (x0,y0)在曲线C上.,10,练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？,(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0;,(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为x+ =0;,(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集其方程为y= 。,11,练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？,12,C,练习4:设圆M的方程为 ,直线l的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( ),A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上,练习5:已知方程 的曲线经过点 ,则 m =_____, n =______.,13,14,复习回顾,2. 练习： (1) 设A(2,0)、B(0,2)， 能否说线段AB的方程为x+y-2=0? (2) 方程x2-y2=0表示的图形是_______,1.复习曲线的方程和方程的曲线的概念,3.证明已知曲线的方程的方法和步骤,Ⅱ、求曲线的方程,15,上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一方法.,,,,,“数形结合” 数学思想的基础,16,1．解析几何与坐标法： 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.,2．平面解析几何研究的主要问题： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程，研究平面曲线的性质. 说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.,17,. 由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：,将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0 ① 我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①解； （2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即: x+2y1－7=0 x1=7－2y1,解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点M属于集合,例2.设A、B两点的坐标是(－1,－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.,18,,,即点M1在线段AB的垂直平分线上. 由(1)、(2)可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程.,点M1到A、B的距离分别是,,,19,由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：,说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.,(1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；,(2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)},(3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;,(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；,(5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.,20,例3.已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.,取直线l为x轴,过点F且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy,,解：,2)列式,3）代换,4)化简,5）审查,1）建系设点,因为曲线在x轴的上方，所以y＞0, 所以曲线的方程是,设点M(x,y)是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足是B，,21,通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节，在这里常用到一些基本公式，如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式，中点公式等，因此先要了解上述知识，必要时作适当复习.,