A版课件:1.3.2.1 函数奇偶性的概念 .ppt
,,,,,,,,,,,,,,,,,第一章 集合与函数概念,1.3.2 奇偶性 第1课时 函数奇偶性的概念,1.了解函数奇偶性的含义.(难点) 2.掌握判断函数奇偶性的方法.(重点、难点) 3.了解函数的奇偶性与函数图象的对称性之间的关系.(易混点),1.函数奇偶性的概念 (1)偶函数的定义. 如果对于函数f(x)的定义域内的_____一个x,都有___________,那么称函数y=f(x)是偶函数. (2)奇函数的定义. 如果对于函数f(x)的定义域内的______一个x,都有______________,那么称函数y=f(x)是奇函数.,任意,f(-x)=f(x),任意,f(-x)=-f(x),2.奇偶函数图象特点 (1)奇函数的图象关于______对称; (2)偶函数的图象关于______对称.,原点,y轴,想一想 (1)判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在x轴上所示的区间是否关于原点对称呢? 提示:由定义知,若x是定义域内的一个元素,-x也一定是定义域内的一个元素,所以函数y=f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是:定义域在x轴上所示的区间关于原点对称.即:如果所给函数的定义域在x轴上所示的区间不是关于原点对称的,这个函数一定不具有奇偶性.例如:函数f(x)=x3在R上是奇函数,但在[-2,1]上既不是奇函数也不是偶函数.,(2)有没有既是奇函数又是偶函数的函数? 提示:有.如f(x)=0,x∈(-a,a)(a>0). (3)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)等于什么? 提示:根据奇函数定义,有f(-0)=-f(0),故f(0)=0. (4)常数函数一定是偶函数吗? 提示:不一定.当定义域关于原点对称时才是,否则不是. (5)奇函数的图象一定过原点吗? 提示:不一定,若0在定义域内,则图象一定过原点,否则不过原点.,1.函数的奇偶性与单调性的区别 (1)奇偶性是反映函数在定义域上的对称性,是相对于函数的整个定义域来说的,奇偶性是函数的“整体”性质. (2)单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势,此区间是定义域的子集,因此单调性是函数的“局部”性质. 2.奇函数、偶函数在x=0处的定义 若奇函数f(x)在原点处有意义,则由奇函数定义 f(-0)=-f(0),可得f(0)=0,偶函数则不一定.,3.奇函数、偶函数的图象特征 (1) (2)由奇、偶函数的图象特征可知:偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反,奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同.,,函数奇偶性的判断,1.函数根据奇偶性分为:奇函数,偶函数,既奇又偶函数,非奇非偶函数. 2.用定义判断函数奇偶性的步骤为: ①求函数f(x)的定义域; ②判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数,若关于原点对称,则进行下一步;,③结合函数f(x)的定义域,化简函数f(x)的解析式; ④求f(-x); ⑤根据f(-x)与f(x)之间的关系,判断函数 f(x)的奇偶性. 3.函数的奇偶性也可以用图象法判断,即若函数的图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数.,4.还可以用如下性质判断函数的奇偶性: ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数; ②奇函数的和、差仍为奇函数; ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数; ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.,分段函数奇偶性的判断,解:函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.当x0, f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3 =-x2-2x-3=-(x2+2x+3)=-f(x); 当x=0时,-x=0,f(-x)=f(0)=0=-f(x); 当x>0时,-x0时,f(x)满足f(x)=-x2+2x-3,-x0的x的取值范围是( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-2,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞),解析:由于函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以它的图象关于y轴对称.又它在(-∞,0]上是减函数,所以可知该函数在(0,+∞)上为增函数.根据这些特征及f(2)=0,可作出它的图象(如图),观察图象可得,使f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).,,答案:D,易错误区系列(四) 判断函数的奇偶性时,因忽略定义域致误,【正解】函数f(x)的定义域为{x|-1≤x<1},不关于原点对称,故此函数既不是奇函数又不是偶函数. 【纠错心得】判断所给函数的奇偶性时,在求出函数的定义域以前,不能化简函数的解析式,否则会导致函数的定义域发生变化,得到错误结论.,解:当x<-1时,f(x)=x+2,-x>1, ∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x); 当x>1时,f(x)=-x+2,-x<-1, f(-x)=-x+2=f(x). 当-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1, f(-x)=0=f(x). ∴对定义域内的每个x都有f(-x)=f(x),因此f(x)是偶函数.,活 页 作 业,,谢谢观看!,