【重庆】北师大课件：第三章推理与证明本章整合3 .pptx

本章整合,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,解:归纳所得的等式为:sin2θ+cos2(θ+30°)+sinθcos(θ+30°)= 3 4 . 证明如下:sin2θ+cos2(θ+30°)+sinθcos(θ+30°) =sin2θ+cos2(θ+30°)+sinθ(cosθcos30°-sinθsin30°) =sin2θ+cos2(θ+30°)+ 3 2 sinθcosθ- 1 2 sin2θ = 1 2 sin2θ+ 3 2 sinθcosθ+cos2(θ+30°) = 1−cos2𝜃 4 + 3 4 sin2θ+ 1+cos(2𝜃+60°) 2 = 1 4 − 1 4 cos2θ+ 3 4 sin2θ+ 1 2 + 1 2 cos(2θ+60°) = 3 4 + 1 2 3 2 sin2𝜃− 1 2 cos2𝜃 + 1 2 cos(2θ+60°) = 3 4 − 1 2 cos(2θ+60°)+ 1 2 cos(2θ+60°)= 3 4 , 所以原结论成立.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,(1)解:f(4)=37,f(5)=61. 由于f(2)-f(1)=7-1=6, f(3)-f(2)=19-7=2×6, f(4)-f(3)=37-19=3×6, f(5)-f(4)=61-37=4×6, …… 因此,当n≥2时,有f(n)-f(n-1)=6(n-1), 所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1) =6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n2-3n+1. 又f(1)=1=3×12-3×1+1, 所以f(n)=3n2-3n+1.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,(2)证明:当k≥2时, 1 𝑓(𝑘) = 1 3 𝑘 2 −3𝑘+1 0, ∴只需证4a2b2+4(a2+b2)+4-25ab≥0. ∵a+b=1, ∴只需证4a2b2-33ab+8≥0, 即证ab≤ 1 4 或ab≥8成立. ∵a>0,b>0,a+b=1, ∴0 1 4 = 1 2 . 同理, (1−𝑏)+𝑐 2 > 1 2 , (1−𝑐)+𝑎 2 > 1 2 . 三式相加,得 (1−𝑎)+𝑏 2 + (1−𝑏)+𝑐 2 + (1−𝑐)+𝑎 2 > 3 2 , 即 3 2 > 3 2 . ∴假设不成立.故原命题成立.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,,专题一,专题二,专题三,专题四,专题五,方法二:假设l1,l2不相交, 则l1∥l2, ∴∠1=∠2. ∵l1⊥l, ∴∠1=90°, ∴∠2=90°, ∴l2⊥l. 这与已知条件l2是l不垂直矛盾, 故l1和l2必相交.,1(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是 ( ) A.方程x3+ax+b=0没有实根 B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析:“至少有一个”的否定为“没有”. 答案:A,1 2 3 4 5 6 7 8,,,,,,,,,,,2(2014·课标全国Ⅰ高考)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市; 乙说:我没去过C城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 解析:由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B城市,因此甲一定去过A城市和C城市.又乙没去过C城市,所以三人共同去过的城市必为A,故乙去过的城市就是A. 答案:A,1 2 3 4 5 6 7 8,,,,,,,,,,,3(2014·陕西高考)已知f(x)= 𝑥 1+𝑥 ,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,则f2 014(x)的表达式为 . 解析:依题意,f1(x)=f(x)= 𝑥 1+𝑥 ,f2(x)=f(f1(x))=f 𝑥 1+𝑥 = 𝑥 1+𝑥 1+ 𝑥 1+𝑥 = 𝑥 1+2𝑥 , f3(x)=f(f2(x))=f 𝑥 1+2𝑥 = 𝑥 1+2𝑥 1+ 𝑥 1+2𝑥 = 𝑥 1+3𝑥 ,…, 由此可猜测fn(x)= 𝑥 1+𝑛𝑥 ,故f2014(x)= 𝑥 1+2 014𝑥 . 答案:f2 014(x)= 𝑥 1+2 014𝑥,1 2 3 4 5 6 7 8,,,,,,,,,,,4(2014·福建高考)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于 . 解析:由题意可知三个关系只有一个正确.分为三种情况: (1)当①成立时,则a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立; (2)当②成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立; (3)当③成立时,则a=2,b≠2,c≠0,即a=2,b=0,c=1, 所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201. 故答案为201. 答案:201,1 2 3 4 5 6 7 8,,,,,,,,,,,5(2013·陕西高考)观察下列等式 (1+1)=2×1; (2+1)(2+2)=22×1×3; (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5; …… 照此规律,第n个等式可为 . 解析:观察规律,等号左侧为(n+1)(n+2)…(n+n), 等号右侧分两部分,一部分是2n,另一部分是1×3×…×(2n-1). 答案:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1),1 2 3 4 5 6 7 8,,,,,,,,,,,6(2014·辽宁高考)已知函数f(x)=π(x-cos x)-2sin x-2,g(x)=(x-π) 1−sin𝑥 1+sin𝑥 + 2𝑥 π -1,证明: (1)存在唯一x0∈ 0, π 2 ,使f(x0)=0; (2)存在唯一x1∈ π 2 ,π ,使g(x1)=0,且对(1)中的x0,有x0+x1>π. 证明:(1)当x∈ 0, π 2 时,f (x)=π+πsinx-2cosx>0, 所以f(x)在 0, π 2 上为增函数, 又f(0)=-π-20, 所以存在唯一x0∈ 0, π 2 ,使f(x0)=0.,1 2 3 4 5 6 7 8,,,,,,,,,,1 2 3 4 5 6 7 8,,,,,,,,,(2)当x∈ π 2 ,π 时,化简得g(x)=(π-x)· cos𝑥 1+sin𝑥 + 2𝑥 π -1. 令t=π-x,记u(t)=g(π-t)=- 𝑡cos𝑡 1+sin𝑡 − 2 π t+1,t∈ 0, π 2 , 则u (t)= 𝑓(𝑡) π(1+sin𝑡) . 由(1)得,当t∈(0,x0)时,u (t)0. 在 𝑥 0 , π 2 上u(t)为增函数, 由u π 2 =0知,当t∈ 𝑥 0 , π 2 时,u(t)<0, 所以u(t)在 𝑥 0 , π 2 上无零点. 在(0,x0)上u(t)为减函数,由u(0)=1及u(x0)<0知存在唯一t0∈(0,x0),使u(t0)=0.,1 2 3 4 5 6 7 8,,,,,,,,,于是存在唯一t0∈ 0, π 2 ,使u(t0)=0. 设x1=π-t0∈ π 2 ,π , 则g(x1)=g(π-t0)=u(t0)=0, 因此存在唯一的x1∈ π 2 ,π ,使g(x1)=0, 由于x1=π-t0,t0π.,7(2014·天津高考)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}. (1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A; (2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an