【重庆】北师大课件：2.2.3.1 直线与圆的位置关系 .pptx

2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系,第1课时 直线与圆的位置关系,,,,,,,【做一做1】直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( ) A.相交但直线不过圆心 B.相切 C.相交且直线过圆心 D.相离 解析:圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.圆心到直线的距离d= |1−1−4| 2 =2 2 >2.所以直线与圆相离. 答案:D,,,【做一做2】求斜率为- 2 3 且与圆x2+y2=16相切的直线方程. 解:设切线方程为y=- 2 3 x+b, 即2x+3y-3b=0.已知圆的圆心为(0,0),半径r=4,则圆心到切线的距离d= |−3𝑏| 2 2 + 3 2 =4.解得b=± 4 13 3 .故所求切线方程为2x+3y+4 13 =0或2x+3y-4 13 =0.,,,2.处理有关直线与圆的位置关系问题时,为什么常用几何法? 剖析:代数法的运算量较大,几何法的运算量较小,并且简单、直观.例:若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100:①相交;②相切;③相离,试分别求实数a的取值范围. 方法一:(代数法) 由方程组 4𝑥−3𝑦+𝑎=0, 𝑥 2 + 𝑦 2 =100, 消去y, 得25x2+8ax+a2-900=0. Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90000. ①当直线和圆相交时,Δ>0, 即-36a2+90000>0,解得-5050.,,方法二:(几何法) 圆x2+y2=100的圆心为(0,0),半径r=10, 则圆心到直线的距离d= |𝑎| 3 2 + 4 2 = |𝑎| 5 . ①当直线和圆相交时,dr, 即 |𝑎| 5 >10,解得a50. 代数法用于所给圆的方程是一般方程的题目比较简便,而几何法用于所给圆的方程是标准方程的题目比较简便. 由这两种解法可看到,几何法确实比代数法运算量小,也比较简单和直观,因此常用几何法.,题型一,题型二,题型三,,题型一,题型二,题型三,方法二:圆的方程可化为x2+(y-1)2=5,其圆心为(0,1),半径为 5 .圆心到直线l的距离为d= 5 10 1,∴圆心O到直线ax+by=1的距离d= 1 𝑎 2 + 𝑏 2 1,所以点A在圆外,切线应该有两条. 当切线的斜率不存在时,有直线x=3,C(2,3)到直线的距离为3-2=1,满足条件; 当切线的斜率存在时,设直线为y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k, |−𝑘+2| 𝑘 2 +1 =1,解得k= 3 4 . 故切线方程为x=3或y= 3 4 x+ 11 4 .,,题型一,题型二,题型三,,,题型一,题型二,题型三,1 2 3 4 5,,,,,,,1直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是( ) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.相交且直线过圆心 D.相离 解析:圆心(0,0)到直线y=x+1的距离为d= 1 2 = 2 2 ,圆的半径r=1, ∵00), 即x+y-b=0, 所以圆心到直线的距离为 |−𝑏| 2 =1,所以b= 2 . 答案:A,,,1 2 3 4 5,,,,,,,3直线x+y=m与圆x2+y2=m(m>0)相切,则m等于( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 2 D.2 解析:由圆心与直线的距离d= |−𝑚| 2 = 𝑚 ,解得m=2. 答案:D,,,1 2 3 4 5,,,,,,,4直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A,B两点,则|AB|= . 解析:方法一:由圆的方程x2+y2=8得圆心为(0,0),半径为2 2 . 圆心到直线x-2y+5=0的距离为d= |0−0+5| 1 2 +(−2 ) 2 = 5 . 利用垂径定理得 |𝐴𝐵| 2 2 +( 5 )2=(2 2 )2, 解得|AB|=2 3 . 方法二:将直线方程化为y= 𝑥+5 2 ,代入圆的方程得x2+ 𝑥+5 2 2 =8,整理得5x2+10x-7=0. 所以x1+x2=-2,x1x2=- 7 5 . 代入弦长公式 |AB|= 1+ 𝑘 2 · ( 𝑥 1 + 𝑥 2 ) 2 −4 𝑥 1 𝑥 2 = 1+ 1 2 2 × (−2 ) 2 −4× − 7 5 =2 3 . 答案:2 3,,,1 2 3 4 5,,,,,,,5已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过点A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于多少. 解:因为点A(1,2)在圆x2+y2=5上,圆心O(0,0)与A(1,2)连线斜率为kOA= 2−0 1−0 =2. 设切线斜率为k,则k=- 1 𝑘 𝑂𝐴 =- 1 2 , 所以过点A与圆O相切的切线方程为y-2=- 1 2 (x-1),即x+2y=5, 易知切线在坐标轴上的截距分别为5, 5 2 , 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S= 1 2 ×5× 5 2 = 25 4 .,,