苏教版课件:2. 2.2 直线与圆的位置关系 .ppt
第2章 平面解析几何初步,2.2 圆与方程,2.2.2 直线与圆的位置关系,栏目链接,课 标 点 击,1.了解直线与圆的三种位置关系,理解直线与圆的位置关系的两种判定方法. 2.会用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系.,栏目链接,典 例 剖 析,栏目链接,直线与圆位置关系的判定,已知圆x2+y2=8,定点P(4,0),问过点P的直线的斜率在什么范围内取值时,这条直线与已知圆:(1)相切;(2)相交;(3)相离.并写出过点P的切线方程. 分析:(1)代数法:设出直线的点斜式方程,与圆的方程联立,根据直线与圆的位置关系确定Δ与0的关系,求出k的范围.,栏目链接,(2)几何法:设直线的点斜式方程,求出圆心到直线的距离d,根据直线与圆的位置关系确定d与r的大小,进而求出k的范围.,栏目链接,消去y,得x2+k2(x-4)2=8, 即(1+k2)x2-8k2x+16k2-8=0, Δ=(-8k2)2-4(1+k2)(16k2-8)=32(1-k2). (1)令Δ=0,即32(1-k2)=0,解得k=±1. ∴当k=±1时,直线与圆相切,切线方程为x-y-4=0或x+y-4=0.,栏目链接,(2)令Δ>0,即32(1-k2)>0,解得-1<k<1. ∴当-1<k<1时,直线与圆相交. (3)令Δ<0,即32(1-k2)<0,解得k>1或k<-1. 当k>1或k<-1时,直线与圆相离. 方法二 设过点P直线的斜率为k(由已知k存在).则其方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0.,栏目链接,►变式训练 1.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明:直线l与圆相交; (2)求直线l被圆C截得的弦长最小时,直线l的方程.,栏目链接,栏目链接,切线方程,求经过点(1,-7)并且与圆x2+y2=25相切的切线方程. 分析:显然点(1,-7)在圆外,因此可用点斜式方程求解,同时也可以求切点,利用两点式求切线方程.,栏目链接,解析:点(1,-7)代入圆方程12+(-7)2=50>25,过圆外一点与圆相切的切线方程求法有三种. 方法一 设切线的斜率为k,由点斜式有y+7=k(x-1). 即y=k(x-1)-7.① 将①代入圆方程x2+y2=25得x2+[k(x-1)-7]2=25, 整理得(k2+1)x2-(2k2+14k)x+k2+14k+24=0, Δ=(2k2+14k)2-4(k2+1)·(k2+14k+24)=0.,栏目链接,栏目链接,栏目链接,栏目链接,规律总结:求切线一般有三种方法:(1)设切点,用切线公式法;(2)设切线斜率,用判别式法;(3)设切线斜率,用圆心到切线距离等于圆半径法. 一般地,过圆外一点可向圆作两条切线,在后两种方法中,应注意斜率不存在的情况,即若求出的切线只有1条,那么另一条切线的斜率必不存在.,栏目链接,综合应用,根据气象台预报:在A市正东方向300 km的B处有一台风中心形成,并以40 km/h速度向西北方向移动,在距台风中心250 km以内的地区将受其影响,从现在起经过多长时间,台风将影响A市?持续时间多长(精确到0.1 h)? 分析:解决实际问题的关键是如何把实际问题数学化,通常通过建系来实现.,栏目链接,解析:以A为圆心,250 km为半径作圆A.当台风中心移动所经过的直线l与圆A相交或相切时,A市将受到台风影响. 建立如图所示的平面直角坐标系,那么点A、B的坐标分别为(0,0)、(300,0),圆A的方程为x2+y2=2502,直线l的方程为y=-(x-300),即x+y-300=0(y≥0).,栏目链接,栏目链接,规律总结:(1)在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活及相关学科中的运用. (2)解有关实际应用问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.,栏目链接,►变式训练 2.设有半径为3 km的圆形村落,A,B两人同时从村落中心出发,A向东而B向北前进,A出村后不久,改变前进方向,斜着沿切于村落周界的方向前进,后来恰好与B相遇,设A、B两人的速度都一定,其比为3∶1,问A、B两人在何处相遇?,栏目链接,解析:如图所示,由题意可设A、B两人的速度分别为3v km/h、v km/h,再设A出发后x0小时,在点P处改变方向,又经y0小时,在点Q处与B相遇,则P、Q两点的坐标分别为(3vx0,0)、(0,vx0+vy0).由于A从P到Q行走的时间是y0小时,于是由勾股定理有OP2+OQ2=PQ2,有(3vx0)2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2, 化简得(x0+y0)(5x0-4y0)=0.,栏目链接,栏目链接,栏目链接,有关最值问题,已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求的最大值和最小值; (2)求y-x的最大值和最小值; (3)求x2+y2的最大值和最小值.,栏目链接,栏目链接,栏目链接,栏目链接,栏目链接,►变式训练 3.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是________. 答案:4,