苏教版课件：2. 2.1 圆的方程 .ppt

第2章 平面解析几何初步,2．2 圆与方程 2．2.1 圆的方程,栏目链接,课 标 点 击,1．理解圆的方程的意义． 2．掌握圆的标准方程和一般方程的形式特征． 3．会根据圆的方程求圆心坐标和半径． 4．会用待定系数法求圆的方程．,栏目链接,典 例 剖 析,栏目链接,圆的方程,设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1.在满足①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小的圆的方程． 分析：设圆心(a，b)、半径r ，然后利用平面几何知识解决问题．,栏目链接,解析：设所求圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.,栏目链接,∴5d2＝|a－2b|2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2(a2＋b2)＝2b2－a2＝1， 当且仅当a＝b时，上式等号成立，此时5d2＝1，从而d取得最小值．,栏目链接,规律总结：(1)求圆的方程的一般步骤： ①选用圆的方程两种形式中的一种(如果已知圆上的三个点的坐标，一般选用一般方程；如果给出圆心的特殊位置或圆心两坐标间的关系，一般选用标准方程)； ②根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组； ③解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程． (2)本题是解析几何和代数的一个综合题，实质是根据已知条件求最值问题，有机地将代数和几何联系在一起，利用圆的有关性质是解决本题的关键．,栏目链接,栏目链接,动点的轨迹问题,如右下图所示，已知O为坐标原点，P在圆C： (x－2)2＋y2＝1上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．,栏目链接,分析：点P运动引起点M运动，而点P在已知圆上运动，点P的坐标满足方程(x－2)2＋y2＝1，建立点M与点P坐标之间的关系，就可以得到点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程，或利用圆的定义求出点M的轨迹方程．,栏目链接,栏目链接,栏目链接,规律总结：(1)代入法和定义法，是求轨迹方程的常用方法，注意熟练掌握． (2)直接法求点的轨迹方程的步骤：,栏目链接,①建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为M(x，y)；②几何点集：写出满足题设的点M的集合P＝{M|P(M)}；③翻译列式：将几何条件P(M)用坐标x，y表示，写出方程f(x，y)＝0；④化简方程：通过同解变形化简方程；⑤查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点．该方法常用于解答与圆相关的应用性问题．,栏目链接,►变式训练 2．设圆的方程为x2＋y2＝4，过点M(0，1)的直线l交圆于A、B两点，O是坐标原点，点P为AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．,解析：方法一 设点P的坐标为(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，y2)． 因为A、B在圆上，所以x21＋y21＝4，x22＋y22＝4.两式相减得x21－x22＋y21－y22＝0， 所以(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0.,栏目链接,栏目链接,栏目链接,与圆有关的最值问题,栏目链接,栏目链接,规律总结：研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解，一般地： ①形如u＝形式的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值问题； ②形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题； ③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．,栏目链接,已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1，0)，B(1，0)，点P为圆上的动点，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大、最小值及对应的点P的坐标． 分析：设出点P的坐标，转化为求函数最值问题．,栏目链接,解析：若设P(x0，y0)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝(x0＋1)2＋y 20＋(x0－1)2＋y 20＝2(x 20＋y 20)＋2， 欲求d的最值，只需求ω＝x 20＋y 20的最值，即求圆C上的点到原点的距离的平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1，P2即为所求．,栏目链接,栏目链接,规律总结：研究圆上的点到定点(或到定直线)的距离的最值问题，一般在点与定点的连线(点与直线的垂线)过圆心时寻求，解决这类问题除可充分利用圆与圆的几何性质外，还可以考虑用圆的参数方程进行三角代换，化成关于sin θ(或cos θ)的函数，再利用正、余弦函数的有界性求解．,