苏教版课件:2. 2.1 圆的方程 .ppt
第2章 平面解析几何初步,2.2 圆与方程 2.2.1 圆的方程,栏目链接,课 标 点 击,1.理解圆的方程的意义. 2.掌握圆的标准方程和一般方程的形式特征. 3.会根据圆的方程求圆心坐标和半径. 4.会用待定系数法求圆的方程.,栏目链接,典 例 剖 析,栏目链接,圆的方程,设圆满足:①截y轴所得的弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1.在满足①②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程. 分析:设圆心(a,b)、半径r ,然后利用平面几何知识解决问题.,栏目链接,解析:设所求圆的圆心为P(a,b),半径为r,则P到x轴,y轴的距离分别为|b|,|a|.,栏目链接,∴5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1, 当且仅当a=b时,上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值.,栏目链接,规律总结:(1)求圆的方程的一般步骤: ①选用圆的方程两种形式中的一种(如果已知圆上的三个点的坐标,一般选用一般方程;如果给出圆心的特殊位置或圆心两坐标间的关系,一般选用标准方程); ②根据所给条件,列出关于D、E、F或a、b、r的方程组; ③解方程组,求出D、E、F或a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中,得到所求的圆的方程. (2)本题是解析几何和代数的一个综合题,实质是根据已知条件求最值问题,有机地将代数和几何联系在一起,利用圆的有关性质是解决本题的关键.,栏目链接,栏目链接,动点的轨迹问题,如右下图所示,已知O为坐标原点,P在圆C: (x-2)2+y2=1上运动,求线段OP的中点M的轨迹方程.,栏目链接,分析:点P运动引起点M运动,而点P在已知圆上运动,点P的坐标满足方程(x-2)2+y2=1,建立点M与点P坐标之间的关系,就可以得到点M的坐标满足的条件,求出点M的轨迹方程,或利用圆的定义求出点M的轨迹方程.,栏目链接,栏目链接,栏目链接,规律总结:(1)代入法和定义法,是求轨迹方程的常用方法,注意熟练掌握. (2)直接法求点的轨迹方程的步骤:,栏目链接,①建系设点:建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点坐标为M(x,y);②几何点集:写出满足题设的点M的集合P={M|P(M)};③翻译列式:将几何条件P(M)用坐标x,y表示,写出方程f(x,y)=0;④化简方程:通过同解变形化简方程;⑤查漏除杂:验证方程表示的曲线是否为已知的曲线,重点检查方程表示的曲线是否有多余的点,曲线上是否有遗漏的点.该方法常用于解答与圆相关的应用性问题.,栏目链接,►变式训练 2.设圆的方程为x2+y2=4,过点M(0,1)的直线l交圆于A、B两点,O是坐标原点,点P为AB的中点,当l绕点M旋转时,求动点P的轨迹方程.,解析:方法一 设点P的坐标为(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2). 因为A、B在圆上,所以x21+y21=4,x22+y22=4.两式相减得x21-x22+y21-y22=0, 所以(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0.,栏目链接,栏目链接,栏目链接,与圆有关的最值问题,栏目链接,栏目链接,规律总结:研究与圆有关的最值问题时,可借助图形的性质,利用数形结合求解,一般地: ①形如u=形式的最值问题,可转化为动直线的斜率的最值问题; ②形如l=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题; ③形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题.,栏目链接,已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(-1,0),B(1,0),点P为圆上的动点,求d=|PA|2+|PB|2的最大、最小值及对应的点P的坐标. 分析:设出点P的坐标,转化为求函数最值问题.,栏目链接,解析:若设P(x0,y0),则d=|PA|2+|PB|2=(x0+1)2+y 20+(x0-1)2+y 20=2(x 20+y 20)+2, 欲求d的最值,只需求ω=x 20+y 20的最值,即求圆C上的点到原点的距离的平方的最值,故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1,P2即为所求.,栏目链接,栏目链接,规律总结:研究圆上的点到定点(或到定直线)的距离的最值问题,一般在点与定点的连线(点与直线的垂线)过圆心时寻求,解决这类问题除可充分利用圆与圆的几何性质外,还可以考虑用圆的参数方程进行三角代换,化成关于sin θ(或cos θ)的函数,再利用正、余弦函数的有界性求解.,