苏教版课件:1. 3.1 空间几何体的表面积 .ppt
1.3 空间几何体的表面积和体积 1.3.1 空间几何体的表面积,栏目链接,课 标 点 击,1.了解柱、锥、台、球的表面积的计算方法. 2.能用柱、锥、台、球的表面积公式解决有关问题.,栏目链接,典 例 剖 析,栏目链接,如下图(1)所示,三棱锥PABC的侧棱的长度均为1,且侧棱间的夹角均为40°,动点M在棱PB上移动,动点N在棱PC上移动,求AM+MN+NA的最小值. 分析:求空间线段长度和的最小值问题,在很多情形下可以转化为平面几何中的最短路程问题,通常是将空间图形展开后加以处理.,栏目链接,栏目链接,规律总结:简单的多面体可以沿着它的某些棱剪开展成平面图形,同样,圆柱、圆锥及圆台也可以沿着其母线剪开展成平面图形.借助这些几何体的平面展开图,我们不仅可以计算它们的表面积而且可以讨论一些最短路线问题.,栏目链接,►变式训练 1.长方体石块ABCDA1B1C1D1的长、宽、高分别为5、4、3米,一只蚂蚁由长方体的表面沿顶点A到顶点C1所走的最短路程为________米.,分析:蚂蚁沿着表面行走.利用长方体的平面展开图知识进行求解. 解析:将图所示的长方体相邻两个面展开有三种情形(注:将右侧面剪开,即剪开棱BB1、B1C1、C1C,可得图(1).其余类同).,栏目链接,栏目链接,柱体、锥体、台体的表面积,如下图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,在平面ABCD内,过C作l⊥CB,以l为轴将梯形ABCD旋转一周,求旋转体的表面积.,栏目链接,分析:本题给出的是一个复杂的空间组合体,该几何体由一个圆柱挖去一个圆锥构成.表面积为圆环、圆柱侧面积、底面圆、圆锥侧面积几个部分构成.,∵DD′=DC=2a, ∴S表面积=S圆环+S柱侧+S⊙C+S锥侧 =[π(2a)2-πa2]+2π·2a·a+π(2a)2+ π·a·2a =(9+4)πa2.,栏目链接,规律总结:这是一个组合体表面积的计算问题,要充分考虑组合体各部分的量之间的关系.,栏目链接,如图,底面为菱形的直棱柱ABCDA1B1C1D1的两个对角面ACC1A1和BDD1B1的面积为6和8,则棱柱侧面积为________. 分析:关键是求出底面周长C和高h的值(或其乘积).,栏目链接,栏目链接,规律总结:解决与直棱柱侧面积有关的问题,其关键是抓住棱柱的侧面积公式;其次要注意利用直观图形的形象直观的分析问题,要注意方程思想、“设而不求”等思想方法的灵活运用;另外应注意平面几何相关知识的应用,如本例中要利用菱形的对角线互相垂直的性质.,栏目链接,栏目链接,已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,如右下图,求正四棱锥的侧面积和表面积. 分析:利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解,然后代入公式.,栏目链接,栏目链接,规律总结:求正棱锥的侧面积关键是求侧面等腰三角形的高(称为斜高),这就需要充分利用棱锥的高、边心距(底面中心到各边的距离)和斜高所构成的直角三角形来求解.,栏目链接,►变式训练 3.设三棱锥SABC的三条侧棱与底面ABC所成角都是60°,又∠BAC=60°,且SA⊥BC. (1)求证:SABC是正三棱锥; (2)若SA=a,求SABC的全面积.,栏目链接,(1)证明:如下图所示,作三棱锥SABC的高SO,O为垂足,连接AO并延长交BC于点D. ∵SA⊥BC,∴AD⊥BC. 又侧棱与底面所成的角都相等,从而O为△ABC的外心. ∵OD为BC的垂直平分线, ∴AB=AC.又∵∠BAC=60°,∴△ABC为正三角形,且O为其中心,所以S-ABC为正三棱锥.,栏目链接,栏目链接,一个正四棱台两底面边长分别为m、n,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为________. 分析:利用直角梯形,转化成直角三角形,结合面积公式求解.,栏目链接,解析:如右图,设O1、O分别为棱台上、下底面中心,M1、M分别为B1C1、BC的中点,连接O1M1、OM,则M1M为斜高. 过M1作M1H⊥OM于点H,则M1H=OO1,,栏目链接,规律总结:在正四棱台中有两个直角梯形值得注意:一是O1OMM1,二是O1OBB1.它们都可以转化成直角三角形,可利用三角形知识求解.,栏目链接,►变式训练 4.五棱台的上、下底面均是正五边形,边长分别为6 cm和30 cm,侧面是全等的等腰梯形,侧棱长是13 cm,则它的侧面积为(C) A.180 cm2 B.90 cm2 C.450 cm2 D.900 cm2,栏目链接,栏目链接,设圆锥底面半径为R,高为h,求其内接圆柱的侧面积的最大值.,分析:圆锥、圆柱都是旋转体,为此,先作它们的轴截面(见右下图).,栏目链接,∵PO=h,AO=OB=R,设GD=OF=r,CE=DF=h′. 则S侧=2πrh′,这是含有两个变量r、h′的函数,为此,要找出r与h′的关系,设∠OPB=α,,栏目链接,栏目链接,规律总结:解决与圆柱、圆锥、圆台的侧面积有关的问题,既要熟练掌握它的侧面面积公式,更要注意作出它们的轴截面,将立体问题转化为平面问题.,栏目链接,►变式训练,栏目链接,球的截面的有关计算,在表面积为2 500π cm2的球内有两个平行截面,其面积分别为49π cm2和400π cm2,球面在这两个平行截面间的部分叫球带,求这个球带的表面积S. 分析:这是一个新定义型的题目,通过题目告诉的条件,需要注意两个平行截面的位置关系.在球中,两个平行截面,其面积分别为49π cm2和400π cm2.有两种情况:①当球心在两截面之外;②当球心夹在两截面之间.分别讨论可得.,栏目链接,解析:①当球心在两截面之外时[如图(1)],过球心O作垂直于两个平行截面的大圆,其直径MN和两个截面分别相交于C1、C,AB、A1B1是两个平行截面的直径,则C1、C是两截面的圆心.则由已知,得,栏目链接,栏目链接,∴S球带=2πR·CM-2πR·C1M=2πR(CM-C1M)= 2πR·CC1=450π (cm2). ②当球心夹在两截面之间时(如图(2)),CC1=OC1+OC=39 (cm), ∴S球带=2πR·CM-2πR·C1M =2πR·CC1=1 950π (cm2). 综合①②,所得球带表面积为450π cm2或1 950π cm2.,栏目链接,规律总结:本题的分类讨论很重要,另外求球带的面积时用到了S球冠=2πRh(h为球冠的高,R为球的半径),球与其他几何体的切接问题“要仔细观察、分析,弄清相关元素的位置关系和数量关系,选择最佳角度作出截面”,以使空间问题平面化.,栏目链接,►变式训练 6.已知过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离为球半径的一半,且AB=BC=CA=2,求球的表面积. 解析:如图,设截面圆心为O′,连接O′A,设球半径为R,,栏目链接,