苏教版课件：1. 3.1 空间几何体的表面积 .ppt

1．3 空间几何体的表面积和体积 1．3.1 空间几何体的表面积,栏目链接,课 标 点 击,1．了解柱、锥、台、球的表面积的计算方法． 2．能用柱、锥、台、球的表面积公式解决有关问题．,栏目链接,典 例 剖 析,栏目链接,如下图(1)所示，三棱锥PABC的侧棱的长度均为1，且侧棱间的夹角均为40°，动点M在棱PB上移动，动点N在棱PC上移动，求AM＋MN＋NA的最小值． 分析：求空间线段长度和的最小值问题，在很多情形下可以转化为平面几何中的最短路程问题，通常是将空间图形展开后加以处理．,栏目链接,栏目链接,规律总结：简单的多面体可以沿着它的某些棱剪开展成平面图形，同样，圆柱、圆锥及圆台也可以沿着其母线剪开展成平面图形．借助这些几何体的平面展开图，我们不仅可以计算它们的表面积而且可以讨论一些最短路线问题．,栏目链接,►变式训练 1．长方体石块ABCDA1B1C1D1的长、宽、高分别为5、4、3米，一只蚂蚁由长方体的表面沿顶点A到顶点C1所走的最短路程为________米．,分析：蚂蚁沿着表面行走．利用长方体的平面展开图知识进行求解． 解析：将图所示的长方体相邻两个面展开有三种情形(注：将右侧面剪开，即剪开棱BB1、B1C1、C1C，可得图(1)．其余类同)．,栏目链接,栏目链接,柱体、锥体、台体的表面积,如下图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积．,栏目链接,分析：本题给出的是一个复杂的空间组合体，该几何体由一个圆柱挖去一个圆锥构成．表面积为圆环、圆柱侧面积、底面圆、圆锥侧面积几个部分构成．,∵DD′＝DC＝2a， ∴S表面积＝S圆环＋S柱侧＋S⊙C＋S锥侧 ＝[π(2a)2－πa2]＋2π·2a·a＋π(2a)2＋ π·a·2a ＝(9＋4)πa2.,栏目链接,规律总结：这是一个组合体表面积的计算问题，要充分考虑组合体各部分的量之间的关系．,栏目链接,如图，底面为菱形的直棱柱ABCDA1B1C1D1的两个对角面ACC1A1和BDD1B1的面积为6和8，则棱柱侧面积为________． 分析：关键是求出底面周长C和高h的值(或其乘积)．,栏目链接,栏目链接,规律总结：解决与直棱柱侧面积有关的问题，其关键是抓住棱柱的侧面积公式；其次要注意利用直观图形的形象直观的分析问题，要注意方程思想、“设而不求”等思想方法的灵活运用；另外应注意平面几何相关知识的应用，如本例中要利用菱形的对角线互相垂直的性质．,栏目链接,栏目链接,已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，如右下图，求正四棱锥的侧面积和表面积． 分析：利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解，然后代入公式．,栏目链接,栏目链接,规律总结：求正棱锥的侧面积关键是求侧面等腰三角形的高(称为斜高)，这就需要充分利用棱锥的高、边心距(底面中心到各边的距离)和斜高所构成的直角三角形来求解．,栏目链接,►变式训练 3．设三棱锥SABC的三条侧棱与底面ABC所成角都是60°，又∠BAC＝60°，且SA⊥BC. (1)求证：SABC是正三棱锥； (2)若SA＝a，求SABC的全面积．,栏目链接,(1)证明：如下图所示，作三棱锥SABC的高SO，O为垂足，连接AO并延长交BC于点D. ∵SA⊥BC，∴AD⊥BC. 又侧棱与底面所成的角都相等，从而O为△ABC的外心． ∵OD为BC的垂直平分线， ∴AB＝AC.又∵∠BAC＝60°，∴△ABC为正三角形，且O为其中心，所以S－ABC为正三棱锥．,栏目链接,栏目链接,一个正四棱台两底面边长分别为m、n，侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为________． 分析：利用直角梯形，转化成直角三角形，结合面积公式求解．,栏目链接,解析：如右图，设O1、O分别为棱台上、下底面中心，M1、M分别为B1C1、BC的中点，连接O1M1、OM，则M1M为斜高． 过M1作M1H⊥OM于点H，则M1H＝OO1，,栏目链接,规律总结：在正四棱台中有两个直角梯形值得注意：一是O1OMM1，二是O1OBB1.它们都可以转化成直角三角形，可利用三角形知识求解．,栏目链接,►变式训练 4．五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别为6 cm和30 cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13 cm，则它的侧面积为(C) A．180 cm2 B．90 cm2 C．450 cm2 D．900 cm2,栏目链接,栏目链接,设圆锥底面半径为R，高为h，求其内接圆柱的侧面积的最大值．,分析：圆锥、圆柱都是旋转体，为此，先作它们的轴截面(见右下图)．,栏目链接,∵PO＝h，AO＝OB＝R，设GD＝OF＝r，CE＝DF＝h′. 则S侧＝2πrh′，这是含有两个变量r、h′的函数，为此，要找出r与h′的关系，设∠OPB＝α，,栏目链接,栏目链接,规律总结：解决与圆柱、圆锥、圆台的侧面积有关的问题，既要熟练掌握它的侧面面积公式，更要注意作出它们的轴截面，将立体问题转化为平面问题．,栏目链接,►变式训练,栏目链接,球的截面的有关计算,在表面积为2 500π cm2的球内有两个平行截面，其面积分别为49π cm2和400π cm2，球面在这两个平行截面间的部分叫球带，求这个球带的表面积S. 分析：这是一个新定义型的题目，通过题目告诉的条件，需要注意两个平行截面的位置关系．在球中，两个平行截面，其面积分别为49π cm2和400π cm2.有两种情况：①当球心在两截面之外；②当球心夹在两截面之间．分别讨论可得．,栏目链接,解析：①当球心在两截面之外时[如图(1)]，过球心O作垂直于两个平行截面的大圆，其直径MN和两个截面分别相交于C1、C，AB、A1B1是两个平行截面的直径，则C1、C是两截面的圆心．则由已知，得,栏目链接,栏目链接,∴S球带＝2πR·CM－2πR·C1M＝2πR(CM－C1M)＝ 2πR·CC1＝450π (cm2)． ②当球心夹在两截面之间时(如图(2))，CC1＝OC1＋OC＝39 (cm)， ∴S球带＝2πR·CM－2πR·C1M ＝2πR·CC1＝1 950π (cm2)． 综合①②，所得球带表面积为450π cm2或1 950π cm2.,栏目链接,规律总结：本题的分类讨论很重要，另外求球带的面积时用到了S球冠＝2πRh(h为球冠的高，R为球的半径)，球与其他几何体的切接问题“要仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系，选择最佳角度作出截面”，以使空间问题平面化．,栏目链接,►变式训练 6．已知过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积． 解析：如图，设截面圆心为O′，连接O′A，设球半径为R，,栏目链接,